Olika stora oändligheter

En kort genomgång av vad som matematiskt menas med oändlighet och hur det kan finnas olika stora oändligheter. För att kunna prata om olika sorters oändlighet måste vi införa begreppen ”kardinaltal” och ”ordinaltal”. Kardinaltal används för att mäta ”hur många” saker vi har i en mängd, ordinaltal för att svara på frågan om ”hur stort” ett tal är. Alla ändliga tal är olika kardinal- och ordinaltal så därför är dessa uttryck inte så viktiga i vanlig matematik. När vi säger att bokstäverna a, b, c, d, e är fem stycken använder vi talet 5:s kardinalitet, men om vi säger att e är den femte bokstaven är det ordinaltalet 5 som är intressant.

Men hur vet vi egentligen att a, b, c, d, e är fem stycken bokstäver? Jo, genom att vi kan para ihop dem med siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5.

För att vi ska veta att bokstäverna och siffrorna är lika många ställer vi två krav på parningsfunktionen. Dessa är:

1. Funktionen ska vara ”mono” (kallas också injektiv eller ”ett-till-ett”), det vill säga för två olika siffror, ska de motsvarande bokstäverna vara olika, x ≠y ⇒f(x)≠f(y).
2. Funktionen ska vara ”epi” (kallas också surjektiv eller ”på”), det vill säga för varje bokstav ska det finnas en siffra som motsvarar den, ∀y ∃x.f(x)=y.

En funktion som uppfyller båda dessa krav kallar vi för en ”iso” (eller bijektiv funktion) och existensen av en sådan ihop-parning mellan två mängder garanterar att de innehåller lika många element.

Vi ska passa på att införa ytterligare ett begrepp: morfism. Med morfism menar vi en funktion som respekterar den struktur som finns hos de mängder där den är definierad. Mängderna ovan med bokstäver och tal har ingen struktur och alltså är alla funktioner mellan dem morfismer. En funktion som uppfyller kraven ovan är alltså en isomorfism och existensen av en isomorfism mellan två mängder bevisar att de har lika många element, att de har samma kardinalitet.

Nu går vi vidare med att titta på 5 som ordinaltal. Bokstaven ”e” är den femte i alfabetet, hur bevisar vi det? Jo, återigen genom att para ihop bokstäver och tal. Denna gång betraktar vi dock inte mängderna a, b, c, d, e och 1, 2, 3, 4, 5 bara som mängder utan som ordnade mängder. Detta ställer också större krav på våra morfismer. Att respektera strukturen hos ordnade mängder innebär att om en siffra är mindre än en annan så har motsvarande bokstäver samma relation,

Funktionen definierad i bilden ovan är alltså inte en morfism mellan de två ordnade mängderna eftersom, till exempel, 2 är mindre än 3 men f(2)=d inte är mindre än f(3)=c.

För att underlätta framställningen kommer i fortsättningen alla illustrationer av ordnade mängder anses växa uppåt, det vill säga det minsta elementet längst ner, det största (om det finns något) längst upp. För att visa att ”e” är den femte bokstaven i alfabetet räcker det alltså med att rita följande bild:

och konstatera att den funktion som beskrivs (f(1)=a och så vidare) respekterar ordningarna, är både mono och epi, och alltså är en isomorfi mellan de två mängderna. Eftersom ”e” då är bilden av ordinaltalet 5 så är ”e” den femte bokstaven.

Oändliga ordinaltal

Nu har vi kommit så långt att det är dags att prata om oändliga ordinaltal. Mängden med de naturliga talen N= {0,1,2,…} är en oändlig ordnad mängd och är alltså ett ordinaltal, oftast betecknat ω. Alla andra mängder som har lika många element som N, det vill säga där det finns en isomorfi från N till mängden, har samma ordinaltal som N. Vi kan lätt konstatera att ω är skiljt ifrån alla ändliga ordinaltal (som i sin tur är skilda från varandra).

Finns det något annat oändligt ordinaltal än ω? Ja, det finns det, vi ska konstruera ett. Till de vanliga naturliga talen fogar vi ”talet” ∞ som har egenskapen att den är större än alla de naturliga talen. Formellt skulle vi väl skriva N∪∞, där

men för enkelhets skull definierar vi mängden bara genom bilden nedan:

Vi ska nu bevisa att denna nya mängd inte är samma ordinaltal som N. Antag att de är samma ordinaltal, det vill säga att det finns en isomorfi f från N till N∪∞. Eftersom f är epi så finns det x∈N så att f(x)= ∞. Men x+1>x, alltså är f(x+1)>f(x)=∞ eftersom f respekterar ordningen. Men i N∪∞ finns inget element större än ∞. Alltså får vi en motsägelse och antagandet om att N∪∞ har ordinaltalet ω är falskt (en diskussion om hur motsägelsebevis fungerar, eller inte, får vi återkomma till en annan gång). Ordinaltalet för denna nya mängd, där vi lagt till ett element till de naturliga talen, betecknar vi ω+1.

När vi väljer att använda additionssymbolen + i samband med ordinaltal vill vi genast varna för att det är förrädiskt. I detta sammanhang fungerar symbolen inte alltid som förväntat, till exempel så är operation inte kommutativ, det vill säga man kan inte byta plats på termerna. Specifikt så är ω+1≠1+ω vilket vi nu ska bevisa. Vi ritar en bild av hur 1+ω ser ut:

Men med bilden som utgångspunkt är det lätt att definiera en isomorfi från N till 1+ω: f(0)=∞,f(1)=0,f(2)=1,… . Alltså har 1+ω också ordinaltalet ω vilket ju inte är lika med ω+1.

Efter att vi nu skapat ett nytt, större, ordinaltal kan vi enkelt fortsätt med fler. ω+2 definieras enligt bilden nedan och kan bevisas vara skilt ifrån ω+1.

Efter en stund har vi lagt till oändligt många punkter ovanför ∞:

Och då har vi nått 2ω. Men vi behöver ju inte låta oss stoppas av det, vi lägger till punkten 2∞ och fortsätter:

Efter ytterligare oändligt många oändligheter når vi ωω=ω^2 och nu börjar vi närma oss slutet för en inledande föreläsning om ordinaltal. Naturligtvis kan man fortsätta vidare till ω^ω och ännu längre men vi återvänder istället till kardinaltalen i nästa del.